Базовый (1 балл)
Время: 2-3 мин
Законы логики
Числовая прямая
Инверсия неравенств
Задание №3 ОГЭ. Значение логического выражения
Тема: Логические операции НЕ, И, ИЛИ, числовые неравенства и поиск X
Нахождение наименьшего или наибольшего целого числа X, для которого составное логическое высказывание истинно (или ложно).
1. Законы инверсии числовых неравенств:
НЕ (X > A)превращается в $X \le A$ (строгое неравенство меняется на нестрогое с противоположным знаком!).НЕ (X >= A)превращается в $X < A$.НЕ (X < A)превращается в $X \ge A$.НЕ (X <= A)превращается в $X > A$.НЕ (X чётное)$\iff$ $X$ нечётное.
2. Логические связки:
- Связка
И(конъюнкция): истинно, когда ВСЕ части выражения выполняются одновременно (пересечение отрезков на числовой прямой). - Связка
ИЛИ(дизъюнкция): истинно, когда хотя бы одна часть выполняется (объединение отрезков).
3. Пошаговый разбор реальной задачи:
Условие: Напишите наименьшее целое число $X$, для которого истинно высказывание:
НЕ (X < 7) И (X < 15) И (X нечётное)
- Раскрываем
НЕ (X < 7)$\implies$ $X \ge 7$. - Второе условие: $X < 15$.
- Пересекаем условия: $7 \le X < 15$ и $X$ — нечётное.
- Список подходящих чисел:
7, 9, 11, 13. - Наименьшее из них: 7 (так как неравенство $X \ge 7$ нестрогое!).
Ответ: 7
Разновидности и прототипы задания на экзамене
1. Поиск наибольшего целого X (с ограничением сверху)
Условие вида
НЕ (X >= A) И (X четное).2. Поиск наименьшего целого X (с ограничением снизу)
Условие вида
НЕ (X <= A) И (X нечетное).3. Выражение со связкой ИЛИ (объединение условий)
Достаточно выполнения хотя бы одного из условий.
Типичные ошибки
✕ Не так
Ошибка: НЕ (X < 7) заменить на X > 7 (потеряв саму семерку!)
И в ответе написать 9 вместо 7.
✓ Так
Правильно: Отрицание строгого знака '<' дает нестрогий знак '>=' (число 7 включается!).
ГРОБ
ЛОВУШКА ОГЭ №3: Отрицание перед всем выражением НЕ (... И ...)
Формула вида НЕ ((X > 5) И (X < 12)).
Как обойти
По закону де Моргана:
НЕ (A И B) $\iff$ (НЕ A) ИЛИ (НЕ B). То есть $X \le 5$ ИЛИ $X \ge 12$.Лайфхаки на экзамене
- Если просят НАИМЕНЬШЕЕ число — проверяйте кандидатов снизу вверх от нижней границы.
- Если просят НАИБОЛЬШЕЕ число — проверяйте кандидатов сверху вниз от верхней границы.